Der Fehler das der Motor nicht Warm wird, ja das könnte das Thermostat sein.
Das der Motor extrem schlecht läuft wenn er Kalt ist = 100% nicht das Thermostat.

Wenn der Motor Kalt ist dann ist auch das Kühlwasser Kalt, somit ist es egal ob das Thermostat Defekt ist oder nicht.
Genau dafür hat der Motor ja Temperatursensoren um genau das mit z.B mehr Kraftstoff auszugleichen.

Der einzige Einfluss auf dem Motor bei einem Defekten (offenen) Thermostat ist ein erhöhter Kraftstoffverbrauch weil der Motor eben länger braucht um Warm zu werden.....